2000. aastal juhtus Aleksei ja kaasahaaravalt eesti rahva jaoks oluline hetk, mil ta Sydney olümpiamängudel, peale Erika Salumäe ja vendade Tõnistete 1992. aasta triumfe, taas Eestile olümpiamedali võitis. Ning aastal 2019 juhtus see, et ta võitis selle medali uuesti. Selle loo, kus rolli mängivad nii Urmas Sõõrumaa, Elmar Vaher kui ka Jüri Ratas, jutustab meile Aleksei kaasa Ilona Toots.
Uskumatu seiklus: Aleksei Budõlini 10 aastat kaotsis olnud olümpiamedal jõudis koju (3)
Peale Aleksei ja Indrek Pertelsoni pronksist edu Sydney olümpial algas Eestis tõeline judobuum. Kõik tahtsid oma lapsi judotreeningutele saata ja koos judokatega pildile sattuda. Aleksei ei pidanud vaevaks oma medalit kõiksugustele judoga seotud üritustele kaasa võtta, olgu teda sihtkohtades ootamas koolilapsed, sponsorid või judoharrastajad.
Nii ka 2010. aasta sügisel, kui nad sõber Sergeiga USAsse lendasid, kus Aleksei paari nädal jooksul kohalike judosõprade korraldatud treeningutel oma teadmisi jagas ja taskuraha teenis. Mõnes väikeses mehes võib ehtsa olümpiamedali kaela passitamine ja isegi hambaga proovimine puhuda hõõguma söe, mis ühel päeval suudab leegiks puhkeda. Loomulikult on medaliomaniku eeskuju rohkemgi muljetavaldav, aga midagi käegakatsutavat mõjub inimestele vahel paremini.